Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=

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AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

分析：由PA=AC=

1

2

AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明

CM

•

SN

=0即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；
（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．

解答：证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，

1

2

），N（

1

2

，0，0），S（1，

1

2

，0）．（4分）
（Ⅰ）

CM

=(1，-1，

1

2

)，

SN

=(-

1

2

，-

1

2

，0)，
因为

CM

•

SN

=-

1

2

+

1

2

+0=0，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ）

NC

=(-

1

2

，1，0)，
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则

x-y+ 1 2 z=0 - 1 2 x+y=0.

令x=2，得a=（2，1，-2）．
因为|cos＜a，

SN

＞|=|

-1- 1 2

3× 2 2

|=

2

2

，
所以SN与片面CMN所成角为45°．

点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

即可求解