Question

已知函数f(x)=

2

x

-

x-m

x2-x

-

1

x-1

-1
（Ⅰ）若函数f（x）无零点，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）在（-2，2）有且仅有一个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）令f（x）=0，原方程等价转化为：

x2-x+2-m=0，(1) x≠0 x2-x≠0 x-1≠0

，欲原方程无实根，考察下面两种情况：①方程（1）无实数根，②方程（1）的实数根为原方程的增根，从而得出答案；
（Ⅱ）将原方程移项得x²-x+2=m，先画出y=x²-x+2和y=m的图象，通过观察图象的交点情况，从而得出函数f（x）在（-2，2）有且仅有一个零点，实数m的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）令f（x）=0得：

2

x

-

x-m

x2-x

-

1

x-1

-1=0，
即

x2-x+2-m

x2-x

=0，
原方程可化为：

x2-x+2-m=0，(1) x≠0 x2-x≠0 x-1≠0

要原方程无实根，有下面两种情况：
①方程（1）无实数根，由△=（-1）²-4（2-m）＜0，得m＜

7

4

；
②方程（1）的实数根为原方程的增根，原方程无实根，而原方程的增根为x=0或x=1，
把x=0或x=1分别代入（1）得m=2．
综上所述：{m|m＜

7

4

或m=2}
（Ⅱ）由x²-x+2-m=0得x²-x+2=m，先画出y=x²-x+2和y=m的图象，如图，
观察图象可知，当m=

7

4

或4≤m＜8时，两图象只有一个交点，
若函数f（x）在（-2，2）有且仅有一个零点，实数m的取值范围是：{m|m=

7

4

或4≤m＜8}．

点评：本小题主要考查函数零点、根的存在性及根的个数判断、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．