Question

【题目】若函数对定义城内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数为“函数”.

(1)判断函数是否为“函数”，并说明理由；

(2)若函数在定义域上为“函数”，求的取值范围；

(3)已知函数在定义域上为“函数”.若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）不是，理由见解析；

（2）；

（3）或；

【解析】

（1）通过列举的方式可判断不是反函数；

（2）由函数在定义域上为“函数”可得，，

可代换为，结合导数可求得范围；

（3）由“函数”定义可先求证函数在上单调，且，求得参数，由对于任意实数恒成立整理得，变形成关于的二次不等式，再令进一步求得值即可

(1)不是为“函数”.

若，当或时，满足，

此时不唯一，所以不是为“函数”.

(2)因为函数在为増函数，且在上为“函数”，

所以，即.

又因为，所以.

所以.

令，则，

因为，所以，所以在上单调递减，

所以，即.

(3)若图像对称轴，设，且，关于对称，

此时，，由条件可知，存在，使，这与“函数”定义矛盾.

所以在上单调，且，

由，得，解得或.

检验：在上单调，所以.

不等式即，

整理得，由题意知，上式对任意恒成立.

得，

整理得，由题意知，存在使得上式成立，

所以或.

解得或.