题目内容
设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤丨f（
）丨对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是
①f（
）=0；
②f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
③|f（
）|=|f（
）|；
④f（x）在区间[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）上单调递减．
| π |
| 6 |
①②③
①②③
（写出所有正确结论的编号）．①f（
| 11π |
| 12 |
②f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
③|f（
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
④f（x）在区间[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（
） 是三角函数的最大值，得到x=
是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+
，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：由于 f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+θ），且cosθ=
，sinθ=
，
f（x）≤丨f（
）丨对一切x∈R恒成立，故直线x=
是函数f（x）的一条对称轴，
可得2×
+θ=
+kπ，k∈Z，因此θ=
+kπ，k∈Z，故 f（x）=asin2x+bcos2x=
sin（2x+
+kπ）=±
sin（2x+
）．
对于①，因为sin（2×
+
）=sin2π=0，所以f（
）=
sin（2
+
+kπ）=0，故①正确．
对于②，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故②正确．
对于③，由|f（
）|=
|sin（
+π+kπ）|=
|sin
|=
sin
，
而|f（
）|=
|sin（
+kπ）|=
sin
，可得|f（
）|=|f（
）|成立，故③正确．
对于④，因为函数的表达式f（x））=±
sin（2x+
），表达式不确定，故[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确．
综上可得，只有①②③正确，
故答案为 ①②③．
| a2+b2 |
| a | ||
|
| b | ||
|
f（x）≤丨f（
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
可得2×
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
对于①，因为sin（2×
| 11π |
| 12 |
| π |
| 6 |
| 11π |
| 12 |
| a2+b2 |
| 11π |
| 12 |
| π |
| 6 |
对于②，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故②正确．
对于③，由|f（
| 7π |
| 10 |
| a2+b2 |
| 17π |
| 30 |
| a2+b2 |
| 17π |
| 30 |
| a2+b2 |
| 17π |
| 30 |
而|f（
| π |
| 5 |
| a2+b2 |
| 17π |
| 30 |
| a2+b2 |
| 17π |
| 30 |
| 7π |
| 10 |
| π |
| 5 |
对于④，因为函数的表达式f（x））=±
| a2+b2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
综上可得，只有①②③正确，
故答案为 ①②③．
点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数，属于中档题．
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