Question

已知函数f(x)=ab^x的图象过点A（4，）和B（5，1）.

（1）求函数f(x)的解析式；

（2）记a_n=log₂f(n),n 是正整数，S_n是数列{a_n}的前n项和，解关于n的不等式a_n·S_n≤0;

（3）对于（2）中的a_n与S_n，整数96是否为数列{a_nS_n}中的项？若是，求出相应的项数；若不是，说明理由.

Answer 1

解：(1)由得

    故f(x)=.

(2)由题意a_n=log₂(·4ⁿ)=2n-10,S_n=(a₁+a_n)=n(n-9),a_nS_n=2n(n-5)(n-9).

    由a_nS_n≤0,得(n-5)(n-9)≤0,即5≤n≤9.

    故n=5,6,7,8,9.

(3)a₁S₁=64,a₂S₂=84,a₃S₃=72,a₄S₄=40.

    当5≤n≤9时，a_nS_n≤0;

    当n≥10时，a_nS_n≥a₁₀a₁₀=100.

∴96不是数列{a_nS_n}中的项.