Question

定义在R上的函数y=f（x），对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），当x＞0时，有f（x）＞1，其中f（1）=2．
（1）求f（2）和f（0）的值；
（2）求f（-1）的值并判断该函数的奇偶性；
（3）设集合A={（x，y）|f（-x²+6x-1）•f（y）=1}，B={（x，y）|y=a}，且A∩B=∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令a=b=1，可求出f（2）的值，令b=0，a=1可求得f（0）的值；
（2）令a=x，b=-x，结合f（0）=1可求得f（-x）=

1

f(x)

，从而可求f（1）=2，f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

，可判断该函数的奇偶性；
（3）利用单调性的定义，先证明原函数y=f（x）在R上是单调递增函数，再利用函数的单调性得到x与y的关系，最后根据A∩B=∅，则抛物线y=x²-6x+1与直线y=a无交点，从而求出所求．

解答：解：（1）∵对任意的a，b∈R，满足f（a+b）=f（a）•f（b），
令a=b=1，则f（2）=f（1）×f（1）=4，
令b=0，a=1则，f（1）=f（0）•f（1）又f（1）=2，所以f（0）=1；
（2）令a=x，b=-x，则有f（0）=f（x-x）=f（x）•f（-x）=1，
∴f（-x）=

1

f(x)

，
∵f（1）=2，
∴f（-1）=

1

f(1)

=

1

2

，
从而可知f（-1）≠f（1）且f（-1）≠-f（1）所以原函数既不是奇函数，也不是偶函数．；
（3）在集合A中f（-x²+6x-1）•f（y）=1 由已知条件，有f（-x²+6x-1+y）=f（0），
令a+b=x，a=y，由f（a+b）=f（a）•f（b），则

f(x)

f(y)

=f(x-y)，
当x＞y，即x-y＞0时，f（x-y）＞1，也就是说

f(x)

f(y)

＞1，
又x＞0时f（x）＞1，f（0）=1，
x＜0时，f(x)=

1

f(-x)

＞1可得f（x）＞f（y），
∴y=f（x）在R上是单调递增函数．
∴-x²+6x-1+y=0，即y=x²-6x+1在集合B中，有y=a，
∵A∩B=∅，则抛物线y=x²-6x+1与直线y=a无交点，
y=x²-6x+1=（x-3）²-8，∴ymin=-8，∴a＜-8，
即a的取值范围是（-∞，-8）．

点评：本题考查函数奇偶性的判断，考查函数单调性的证明及应用，（3）中判断函数f（x）在R上为单调递增函数是难点，考查转化思想与推理论证、综合运算能力，属于难题．