题目内容
设实数x，y满足条件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则
+
的最小值是 ．
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
分析：已知2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．
解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由ax+by=z（a＞0，b＞0），得y=-
x+
，
则y=-
x+
的斜率k=-
＜0，
平移直线得y=-
x+
，由图象可知当直线得y=-
x+
经过点
B时，直线的截距最大，
此时z最大，
由
，解得
，
即直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为B（4，6），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，
∴2a+3b=6，即
+
=1，
∴
+
=（
+
）（
+
）=
+
+
+
≥
+2
=
+2=
，
当且仅当
=
即a=b时取等号，
∴
+
的最小值是
，
故答案为：
由ax+by=z（a＞0，b＞0），得y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
则y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
平移直线得y=-
| a |
| b |
| z |
| b |
| a |
| b |
| z |
| b |
B时，直线的截距最大，此时z最大，
由
|
|
即直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为B（4，6），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，
∴2a+3b=6，即
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
∴
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| a |
| b |
| b |
| a |
| 15 |
| 6 |
|
| 15 |
| 6 |
| 25 |
| 6 |
当且仅当
| b |
| a |
| a |
| b |
∴
| 2 |
| a |
| 3 |
| b |
| 25 |
| 6 |
故答案为：
| 25 |
| 6 |
点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．利用数形结合是解决本题的关键．
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