Question

（2013•长宁区一模）设0＜m＜

1

2

，若

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，则k的最大值为

8

．

Answer 1

分析：令t=

1

m

+

2

1-2m

，

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，等价于t_min≥k恒成立，利用基本不等式求出最小值，即可求k的最大值．

解答：解：令t=

1

m

+

2

1-2m

∵

1

m

+

2

1-2m

≥k恒成立，
∴t_min≥k恒成立
t=

1

m

+

2

1-2m

=

2

2m

+

2

1-2m

=(

2

2m

+

2

1-2m

)(2m+1-2m)=2（2+

1-2m

2m

+

2m

1-2m

）
∵0＜m＜

1

2

∴2m＞0，1-2m＞0
∴

1-2m

2m

+

2m

1-2m

≥2（当且仅当

1-2m

2m

=

2m

1-2m

，即m=

1

4

时取等号）
∴t≥8
∴k≤8
∴k的最大值为8
故答案为：8

点评：本题考查恒成立问题，考查基本不等式的运用，解题的关键是求函数的最小值．