Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是AA₁的中点．
（1）求CA_l与底面ABCD所成角的正切值；
（2）证明A₁C∥平面BDE．

Answer 1

分析：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AA₁⊥底面ABCD，故∠A₁CA即为CA_l与底面ABCD所成角．解Rt△A₁CA求出tan∠A₁CA的值．
（2）设AC和BD交与点O，由EO是△A₁CA的中位线，可得EO∥AC．而EO?平面BDE，A₁C不在平面BDE 内，由直线和平面平行的判定定理可得A₁C∥平面BDE．

解答：解：（1）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，由于AA₁⊥底面ABCD，故∠A₁CA即为CA_l与底面ABCD所成角．
设正方体的棱长等于1，则 AA₁=1，AC=

2

，Rt△A₁CA中，tan∠A₁CA=

AA1

AC

=

1

2

．
（2）证明：设AC和BD交与点O，则O是AC的中点．再由E是AA₁的中点可得EO是△A₁CA的中位线，∴EO∥AC．
而EO?平面BDE，A₁C不在平面BDE 内，∴A₁C∥平面BDE．

点评：本题主要考查直线和平面所成的角的定义和求法，证明直线和平面平行的方法，找出直线和平面所成的角，是解题的关键．