Question

已知椭圆C₁：＋y²＝1，椭圆C₂以C₁的长轴为短轴，且与C₁有相同的离心率．

(1)求椭圆C₂的方程；

(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C₁和C₂上，，求直线AB的方程．

Answer 1

解　(1)由已知可设椭圆C₂的方程为＋＝1(a>2)．

其离心率为，故＝，解得a＝4.

故椭圆C₂的方程为＋＝1.

(2)A，B两点的坐标分别记为(x_A，y_A)，(x_B，y_B)，

由＝2及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx.

将y＝kx代入＋y²＝1中，得(1＋4k²)x²＝4，

所以x＝.

将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k²)x²＝16，

所以x＝.又由＝2 ，得x＝4x，即，解得k＝±1.故直线AB的方程为y＝x或y＝－x.