Question

(本小题满分14分)已知圆过点, 且在轴上截得的弦的长为.
(1) 求圆的圆心的轨迹方程；
(2) 若, 求圆的方程.

Answer 1

(1) ；（2）

本题主要考查了利用圆的性质求解点的轨迹方程及圆的方程的求解，解题的关键是熟练 掌握圆的基本性质
（1）设圆C的圆心为C（x，y），圆的半径 r= x²+(y-a)²，由圆C在x轴上截得的弦MN的长为2a．可得|y|²+a²=r²，整理可求
（2）由∠MAN=45°可得∠MCN=90°，由（1）可知圆C的圆心为（x₀，y₀），则有x₀²=2ay₀（结合y0="1" ，2|MN|=a可求x₀，r，从而可求圆C的方程
解: (1)设圆的圆心为,
依题意圆的半径    ……………… 2分
∵ 圆在轴上截得的弦的长为.
∴   
故   ………………………… 4分
∴  
∴ 圆的圆心的轨迹方程为 ………………… 6分
（2）∵  , 
∴  ……………………… 9分
令圆的圆心为, 则有 () ,……… 10分
又 ∵  …………………… 11分
∴   ……………………… 12分
∴      ……………………… 13分
∴  圆的方程为  …………………14分