Question

（2012•兰州模拟）某市为了推动全民健身运动在全市的广泛开展，该市电视台开办了健身竞技类栏目《健身大闯关》，规定参赛者单人闯关，参赛者之间相互没有影响，通过关卡者即可获奖．现有甲、乙、丙3人参加当天的闯关比赛，已知甲获奖的概率为

3

5

，乙获奖的概率为

2

3

，丙获奖而甲没有获奖的概率为

1

5

．
（1）求三人中恰有一人获奖的概率；
（2）记三人中获奖的人数为ξ，求ξ的数学期望．

Answer 1

分析：（1）设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，由题意可得P（C）P（

.

A

）=

1

5

，从而求出p值，再根据相互独立事件的概率乘法公式可得三人中恰有一人获奖的概率．
（2）由题意可得三人中获奖的人数ξ值为：0，1，2，3，再结合题中的条件与相互独立事件的概率乘法公式分别求出它们发生的概率，进而求出ξ的数学期望．

解答：解：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，丙获奖为事件C，丙获奖的概率为p，
则P（C）P（

.

A

）=

1

5

，即p（1-

3

5

）=

1

5

，∴p=

1

2

．
（1）三人中恰有一人获奖的概率为：
P=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）
=

3

5

（1-

2

3

）（1-

1

2

）+（1-

3

5

）

2

3

（1-

1

2

）+（1-

3

5

）（1-

2

3

）

1

2

=

3

10

；
（2）P（ξ=0）=

2

5

×

1

3

×

1

2

=

1

15

，
P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）=

3

10

，
P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）=

13

30

，
P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

1

5

．
∴Eξ=0×

1

15

+1×

3

10

+2×

13

30

+3×

1

5

=

53

30

．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握相互独立事件的概率乘法公式与对立事件的定义，以及离散型随机变量的期望，此题属于中档题．