Question

【题目】如图,在四棱锥中,丄平面,，，，，.

(1)证明丄;

(2)求二面角的正弦值;

(3)设为棱上的点,满足异面直线与所成的角为,求的长.

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2) ；(3)

【解析】

（1）要证异面直线垂直，即证线面垂直，本题需证平面

（2）作于点，连接。 为二面角的平面角，在中解出即可。

（3）过点作的平行线与线段相交，交点为，连接，；计算出AF、BF，再在中利用的余弦公式，解出EF,即可求出AE的长

（1）证明：由平面，可得，

又由，，故平面。

又平面，所以。

（2）如图，作于点，连接。

由，，可得平面。

因此，从而为二面角的平面角。

在中，，，由此得

由（1）知，故在中，

因此所以二面角

的正弦值为。

（3）因为，故过点作的平行线必与线段相交，

设交点为，连接，；

∴或其补角为异面直线与所成的角；

由于，故；

在中，，；

∴；

∴在中，由，，

可得：；

由余弦定理，可得，，

解得：，设；

在中，；

在中，；

∴在中，，∴；

；

解得；∴。