Question

如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（I）若点G在AB上，试确定G点位置，使FG∥平面ADE，并加以证明；
（II）求三棱锥D-ABF的体积．

Answer 1

分析：（I）当G是AB的中点时，GF∥平面ADE．G是AB的中点，F是BE的中点⇒GF∥AE⇒FG∥平面ADE；
（II）由（I）知，CG⊥AB，CG∥DF，根据线面垂直的判定得DF⊥平面ABF，即DF是三棱锥D-ABF的高，利用锥体的体积公式即可得到三棱锥D-ABF的体积．

解答：解：（I）当G是AB的中点时，GF∥平面ADE．
证明：因为G是AB的中点，F是BE的中点．
所以GF∥AE．
又GF?平面ADE．AE⊆平面ADE．
∴GF∥平面ADE．
（II）由（I）知，CG⊥AB，CG∥DF，
∴DF⊥AB，又DF⊥AE，AB∩AE=E，∴DF⊥平面ABF，即DF是三棱锥D-ABF的高，
∴三棱锥D-ABF的体积V=

1

3

×S_△ABF×DF=

1

3

×

1

2

×2×1×

3

=

3

3

．

点评：本题主要考查线面平行的证明以及棱锥的体积的求法．在证明线面平行时，一般先证线线平行或面面平行．