题目内容
已知函数F(x)=| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 1 |
| 2 |
（1）求F(
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
（2）已知数列{an}满足a1=2，an+1=F（an），求数列{an}的通项公式；
（3） 求证：a1a2a3…an＞
| 2n+1 |
分析：（1）根据F（x）的解析式化简得到F（x）+F（1-x）=3，所以把所求的式子乘以2后，倒序相加即可得到所求式子的值；
（2）先把x=an代入f（x）的解析式中，确定出f（an），由an+1=F（an），两边都减去1，化简后即可得到数列{
}是以2为公差、1为首项得等差数列，写出数列{
}的通项公式即可求出数列{an}的通项公式；
（3）根据（2n）2＞（2n）2-1，得到
＞
，根据（2）中求出的数列{an}的通项公式列举出各项，收缩不等式后约分即可得证．
（2）先把x=an代入f（x）的解析式中，确定出f（an），由an+1=F（an），两边都减去1，化简后即可得到数列{
| 1 |
| an-1 |
| 1 |
| an-1 |
（3）根据（2n）2＞（2n）2-1，得到
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
解答：解：（1）因为F(x)+F(1-x)=
+
=3，
所以由倒序相加可得：2[F(
)+F(
)+…+F(
)]
=[F（
）+F（
）]+…+[F（
）+F（
）]
=3×2010=6030，
则F(
)+F(
)+…+F(
)=3015；
（2）由an+1=F（an），两边同时减去1，得an+1-1=
，
所以
=
=2+
，
故{
}是以2为公差、1为首项得等差数列．
所以
=2n-1，由此an=
（3）因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1），
所以
＞
，于是
＞
，
＞
，…，
＞
所以a1a2…an=
=
＞
=
．
| 3x-2 |
| 2x-1 |
| 3(1-x)-2 |
| 2(1-x)-1 |
所以由倒序相加可得：2[F(
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
=[F（
| 1 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
| 1 |
| 2011 |
=3×2010=6030，
则F(
| 1 |
| 2011 |
| 2 |
| 2011 |
| 2010 |
| 2011 |
（2）由an+1=F（an），两边同时减去1，得an+1-1=
| an-1 |
| 2an-1 |
所以
| 1 |
| an+1-1 |
| 2an-1 |
| an-1 |
| 1 |
| an-1 |
故{
| 1 |
| an-1 |
所以
| 1 |
| an-1 |
| 2n |
| 2n-1 |
（3）因为（2n）2＞（2n）2-1=（2n+1）（2n-1），
所以
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| 4 |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 2n |
| 2n-1 |
| 2n+1 |
| 2n |
所以a1a2…an=
| (a1a2…an)2 |
|
＞
|
| 2n+1 |
点评：此题考查了等差数列的通项公式及等差数列的确定方法，是一道中档题．本题的技巧性比较强如第1问中求出F（x）+F（1-x）的值，然后利用倒序相加的方法来求解；第3问证明不等式时注意利用不等式的放缩的方法来证明．
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