Question

已知椭圆、抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：

	3	2	4
		0	4

⑴求的标准方程；

⑵是否存在直线满足条件：①过的焦点；②与交不同两点且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【命题意图】本小题主要考查直线、椭圆及抛物线的标准方程，考查直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：⑴设抛物线，则有，

据此验证个点知（3，），（4，4）在抛物线上，易求.（2分）

       设：，把点（2，0）,（，）代入得：

，解得.∴方程为.                 (5分)

⑵容易验证直线的斜率不存在时，不满足题意.　　　　　　　　　　　　（6分）

当直线斜率存在时，假设存在直线过抛物线焦点，设其方程为，与的交点坐标为_.

由消去并整理得 ，

于是 ，.①                            (8分)

.

即.②     　　　　　　　　 (9分)

由，即，得（*）.

将①、②代入（*）式，得，解得，

所以存在直线满足条件，且的方程为：或 （12分）