Question

【题目】在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【解析】

（1）将曲线参数方程平方相加，即可消去参数得到普通方程，将直线方程展开，利用代入，即可求出直角坐标方程；

（2）由（1）得，设直线参数方程为为参数），代入曲线普通方程中，设交点，对应的参数为，根据根与系数关系得出的值，结合直线参数的几何意义即可证明.

（1）由得

由得，得，

的普通方程是，的直角坐标方程为.

（2）由（1）知

设的参数方程为为参数），

代入的方程得，当时，

设方程的两根为

，所以为定值.