Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知m=（cos

3A

2

，sin

3A

2

），n=（cos

A

2

，sin

A

2

），且满足|m+n|=

3

．
（1）求角A的大小；
（2）若|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）由|

m

+

n

|  =

3

得

m

 2+

n

2+2

m

•

n

=3整理可得cosA=

1

2

结合0＜A＜π可求A=

π

3

．
（2）由已知可得b+c=

3

a结合正弦定理可得，sinB+sinC=

3

sinA，从而有sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

×

3

2

，
sin（B+

π

6

）=

3

2

．由0＜B＜

2π

3

可得

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，结合正弦函数的性质可求B，进一步可求C，判断三角形的形状

解答：解：（1）由|

m

+

n

|  =

3

得

m

 2+

n

2+2

m

•

n

=3
即1+1+2（cos

3A

2

cos

A

2

+sin

3A

2

sin

A

2

）=3，
∴cosA=

1

2

，∵0＜A＜π，∴A=

π

3

．
（2）∵|

AC

|+|

AB

|=

3

|

BC

|，
∴b+c=

3

a，
由正弦定理可得，sinB+sinC=

3

sinA，
∴sinB+sin（

2π

3

-B）=

3

×

3

2

，
即

3

2

sinB+

1

2

cosB=

3

2

，
∴sin（B+

π

6

）=

3

2

．
∵0＜B＜

2π

3

，∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
∴B+

π

6

=

π

3

或

2π

3

，故B=

π

6

或

π

2

．
当B=

π

6

时，C=

π

2

；当B=

π

2

时，C=

π

6

．
故△ABC是直角三角形．

点评：本题主要考查了向量的向量的模的求解，向量数量积的运算，和角的三角函数及正弦定理的应用，由特殊角的三角函数值求解角等知识的综合运用，属于综合试题．