Question

已知双曲线的中心在坐标原点，渐近线方程是，左焦点的坐标为,为双曲线上的两个动点,满足.

(Ⅰ)求双曲线的方程;

(Ⅱ)求的值;

(Ⅲ)动点在线段上,满足,求证:点在定圆上.

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)见解析

解析:

(Ⅰ)由题意,设双曲线C的方程为,则由得

所以双曲线的方程为………………………………2分

(Ⅱ)解法一:①当过两点的直线斜率存在时,设直线的方程为,则

由得 ……………………4分

设则

∴…………5分

又,则

即

∴

满足△……………………………6分

设原点到直线的距离为,

则,又由

∴ 

∴为定值……………………………………8分

②当过两点的直线斜率不存在时, 设直线的方程为,则可验证为定值…………………………………………10分

解法二:设,则……………6分

点在双曲线上,则 

由得

同理, …………………8分

所以为定值…………………10分

(Ⅲ)由三角形面积公式,得

所以

即

所以点在以原点为圆心,半径的圆上……………………13分