Question

函数f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

；p∈R．
（I）若f（x）在x=2处取得极值，求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数求p的取值范围；
（III）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用f（x）在x=2处取得极值，可得f′（2）=0，从而可求p的值；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，若f′（x）≥0恒成立，则p≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，即p≥(

2x

x2+1

)max；若f′（x）≤0恒成立，则p≤

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，即p≤(

2x

x2+1

)min，由此可求p的取值范围；
（III）先确定g（x）的值域为[2，2e]．再分类讨论，确定f（x）的值域，利用在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，构建不等式，即可求p的取值范围．

解答：解：（I）f′（x）=p(1+

1

x2

)-

2

x

∵f（x）在x=2处取得极值，∴f′（2）=0
∴

5

4

p-1=0，∴p=

4

5

；
（II）若f（x）在其定义域内为单调函数，则f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立
若f′（x）≥0恒成立，则p≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，即p≥(

2x

x2+1

)max
若f′（x）≤0恒成立，则p≤

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，即p≤(

2x

x2+1

)min
令h(x)=

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

∴x=1时，h（x）_max=1；x→0或x→+∞时，h（x）_min→0
∴p≤0或p≥1；
（III）∵g（x）在[1，e]上单调递减，∴g（x）的值域为[2，2e]．
①若p≥1，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递增，∴f（x）的值域为[0，p(e-

1

e

)-2]
∵在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，
∴p(e-

1

e

)-2＞2，∴p＞

4e

e2-1

；
②若p≤0，由（II）知，f（x）在[1，e]上单调递减，∴f（x）的值域为[p(e-

1

e

)-2，0]
∵f（x）_max=0＜2=g（x）_min，∴此时不满足题意
③若0＜p＜1，则p(x-

1

x

)-2lnx≤x-

1

x

-2lnx，函数在[1，e]上单调递增
∴x-

1

x

-2lnx≤e-

1

e

-2
∵e-

1

e

-2＜2=g（x）_min，∴此时不满足题意
综上，p＞

4e

e2-1

．

点评：本题考查导数知的运用，考查函数的极值与最值，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．