题目内容

已知函数，x∈（0，+∞），
（1）当a=8时，求f（x）的单调区间；
（2）对任意正数a，证明：1＜f（x）＜2。
解：（1）当a=8时，，
求得，
于是当x∈时，f′（x）≥0；而当x∈时，f′（x）≤0，
即f（x）在中单调递增，而在中单调递减．
（2）对任意给定的a＞0，x＞0，由，
若令，则abx=8， ①
而， ②
（一）、先证f（x）＞1；因为，
又由，得，
所以


；
（二）、再证f（x）＜2；
由①、②式中关于x，a，b的对称性，不妨设x≥a≥b，则0＜b≤2，
（ⅰ）当a+b≥7，则a≥5，所以x≥a≥5，
因为，，
此时；
（ⅱ）当a+b＜7，③
由①得，，
因为，
所以， ④
同理得， ⑤
于是， ⑥
今证明， ⑦
因为，
只要证，即，
也即a+b＜7，据③，此为显然．
练习册系列答案
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已知函数f(x)=
|lgx|(0＜x＜10)
(x-20)2
100
(x≥10)
，若a，b，c，d互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则abcd的取值范围是
（300，400）
（300，400）
．
（2012•湛江一模）已知函数f（x）的图象是在[a，b]上连续不断的曲线，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）；f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}，（x∈[a，b]）其中，min{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最小值，max{f（t）|t∈D}表示函数f（t）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f(x)=2sinx(0≤x≤
π
2
)．
（1）求f1（x），f2（x）的表达式；
（2）判断f（x）是否为[0，
π
2
]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由．
（2011•临沂二模）已知函数y=
x
（0≤x≤4）的值域为A，不等式x2-x≤0的解集为B，若a是从集合A中任取的一个数，b是从集合B中任取一个数，则a＞b的概率是（　　）

（08年周至二中三模理） 已知函数f (x)（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若，则 （   ）       

（A）    （B）

（C）     （D）前三个判断都不正确

(14分)已知函数,（ x>0）．

（I）当0<a<b，且f(a)=f(b)时，求证：ab>1；

（II）是否存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

（III）若存在实数a，b（a<b），使得函数y=f(x)的定义域为 [a，b]时，值域为 [ma，mb]

(m≠0),求m的取值范围．

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