Question

（本小题满分14分）
已知函数在上有定义，对任意实数和任意实数，都有.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）证明（其中k和h均为常数）；
（Ⅲ）当（Ⅱ）中的时，设，讨论在内的单调性.

Answer 1

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）
（Ⅲ）在区间内单调递减, 在区间（）内单调递增.

本小题主要考查函数的概念、导数应用、函数的单调区间和极值等知识，考查运用数学知识解决问题及推理的能力。
（1）对于任意的a>0，，均有 ①在①中取
(2) 令时，∵，∴，则
而时，，则
而，   ∴，即成立
赋值法得到结论。
（3）由（Ⅱ）中的③知，当时，，
分析导数得到单调区间。
（Ⅰ）证明：对于任意的a>0，，均有 ①
在①中取
∴ ②
（Ⅱ）证法一：当时，由①得   
取，则有    ③
当时，由①得 
取，则有   ④
综合②、③、④得;
证法二:
令时，∵，∴，则
而时，，则
而，   ∴，即成立
令，∵，∴，则
而时，，则
即成立。综上知
（Ⅲ）解法1：由（Ⅱ）中的③知，当时，，
从而
又因为k>0，由此可得

	－	0	+
	↘	极小值2	↗

所以在区间内单调递减，在区间（）内单调递增。
解法2：由（Ⅱ）中的③知，当时，，
设   则

又因为k>0，所以
（i）当 ；
（ii）当
所以在区间内单调递减, 在区间（）内单调递增.