题目内容

函数 $数学公式$ ，定义f（x）的第k阶阶梯函数 $数学公式$ ，其中k∈N^*，f（x）的各阶梯函数图象的最高点P_k（a_k，b_k），最低点Q_k（c_k，d_k）．
（1）直接写出不等式f（x）≤x的解；
（2）求证：所有的点P_k在某条直线L上．
（3）求证：点Q_k到（2）中的直线L的距离是一个定值．

解：（1）当x∈[0， $\text{[math]}$ ]时，故不等式f（x）=x+ $\text{[math]}$ ≤x，x无解；
当x∈[ $\text{[math]}$ ，1]时，f（x）=2（1-x）≤x，解得x∈ $\text{[math]}$ ．
不等式f（x）≤x的解集为 $\text{[math]}$ ．---------（4分）
（2）由f（x）的第k阶阶梯函数的定义可得
$\text{[math]}$ ，k∈N^*．----（6分）
且 $\text{[math]}$ ．
∴f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点为 $\text{[math]}$ ，-----（7分）
第k+1阶阶梯函数图象的最高点为 $\text{[math]}$ ，
所以过P_kP_k+1这两点的直线的斜率为 $\text{[math]}$ ．--------（8分）
同理可得过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率也为 $\text{[math]}$ ．
所以f（x）的各阶阶梯函数图象的最高点共线，且直线方程为 $\text{[math]}$ ，
即 2x+4y-5=0．----（10分）
（3）证明：同理求得最低点： $\text{[math]}$ ，点Q_k到（2）中的直线L的距离为
$\text{[math]}$ ．-----（12分）
分析：（1）按分段函数分段标准讨论x，然后解不等式f（x）≤x即可；
（2）先求出函数f_k（x）的解析式，然后研究函数f_k（x）的单调性，从而得到f（x）的第k阶阶梯函数图象的最高点P_k的坐标，然后求出过P_kP_k+1这两点的直线的斜率和过P_k+1P_k+2这两点的直线的斜率，可证得所有的点P_k在某条直线L上．
（3）先求出求得最低点 $\text{[math]}$ ，利用点到直线L的距离公式求得结果为定值．
点评：本题主要考查了分段函数的性质，以及函数的单调性和最值，同时考查了分类讨论的数学思想和运算求解的能力，属于中档题．