Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=

π

3

，cosA=

4

5

，b=

3

，则△ABC的面积为

36+9 3

50

．

Answer 1

分析：由B的度数，利用三角形的内角和定理求出A+C的度数，用A表示出C，同时由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，把表示出的C代入sinC，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将sinA和cosA的值代入即可求出sinC值，由sinA，sinB及b的值，利用正弦定理求出a的值，再由a，b及sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：∵角A，B，C为△ABC的内角，且B=

π

3

，cosA=

4

5

，
∴C=

2π

3

-A，sinA=

1- cos2A

=

3

5

，
∴sinC=sin(

2π

3

-A)=

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3+4 3

10

，
又B=

π

3

，b=

3

，
∴在△ABC中，由正弦定理得a=

bsinA

sinB

=

6

5

，
则△ABC的面积S=

1

2

absinC=

1

2

×

6

5

×

3

×

3+4 3

10

=

36+9 3

50

．
故答案为：

36+9 3

50

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．