题目内容
已知点A、B、C、D的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），D（-2cosα，-t），α∈（
，
）．
（1）若|
|=|
|，求角α的值；
（2）若
•
=-1，求
的值．
（3）若f(α)=
•
-t2+2在定义域α∈（
，
）有最小值-1，求t的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（1）若|
| AC |
| BC |
（2）若
| AC |
| BC |
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
（3）若f(α)=
| OC |
| OD |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（1）∵
=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα-3），
∴|
|=
=
，
|
|=
=
…（2分）
由|
|=|
|得sinα=cosα，
又α∈（
，
），
∴α=
…（5分）
（2）由
•
=-1得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．
∴sinα+cosα=
，①（6分）
又
=
=2sinαcosα．（7分）
由①式两边平方得1+2sinαcosα=
，
∴2sinαcosα=-
．（8分）
∴
=-
．（9分）
（3）依题意记y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=-2（1-sin2α）-tsinα-t2+2
=2sin2α-tsinα-t2（10分）
令x=sinα，∵α∈（
，
），
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）（11分）
其对称轴为x=
，
∵y=2x2-tx-t2在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴对称轴x=
∈（-1，1），
∴t∈（-4，4）（12分）
当且仅当x=
时，y=2x2-tx-t2取最小值，为ymin=2×
-t•
-t2=-
t2=-1，
∴t=±
（14分）
| AC |
| BC |
∴|
| AC |
| (cosα-3)2+sin2α |
| 10-6cosα |
|
| BC |
| (sinα-3)2+cos2α |
| 10-6sinα |
由|
| AC |
| BC |
又α∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴α=
| 5π |
| 4 |
（2）由
| AC |
| BC |
∴sinα+cosα=
| 2 |
| 3 |
又
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
| 2sinα(sinα+cosα) | ||
1+
|
由①式两边平方得1+2sinαcosα=
| 4 |
| 9 |
∴2sinαcosα=-
| 5 |
| 9 |
∴
| 2sin2α+2sinαcosα |
| 1+tanα |
| 5 |
| 9 |
（3）依题意记y=f（α）=-2cos2α-tsinα-t2+2
=-2（1-sin2α）-tsinα-t2+2
=2sin2α-tsinα-t2（10分）
令x=sinα，∵α∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴sinα∈（-1，1），
∴y=2x2-tx-t2，x∈（-1，1）（11分）
其对称轴为x=
| t |
| 4 |
∵y=2x2-tx-t2在x∈（-1，1）上存在最小值，
∴对称轴x=
| t |
| 4 |
∴t∈（-4，4）（12分）
当且仅当x=
| t |
| 4 |
| t2 |
| 16 |
| t |
| 4 |
| 9 |
| 8 |
∴t=±
2
| ||
| 3 |
练习册系列答案
相关题目
，
，
，则B、C两点间的球面距离是 。
B．
D．
,
).
|=|
|，求角α的值；
的值.
在定义域α∈(
，求
的值。