题目内容

设f(x)=a
x
-lnx（a＞0）：
（1）若f（x）在[1，+∞）上递增，求a的取值范围；  
（2）求f（x）在[1，4]上的最小值．
（1）求导函数，可得f′(x)=
a
x
-2
2x

∵f（x）在[1，+∞）上递增，
∴在[1，+∞）上，f′(x)=
a
x
-2
2x
≥0恒成立
∴在[1，+∞）上，a≥
2
x

∴a≥2
∴a的取值范围为[2，+∞）； 
（2）由f′(x)=
a
x
-2
2x
，x∈[1，4]
①当a≥2时，在x∈[1，4]上，f'（x）≥0，∴fmin（x）=f（1）=a（8分）
②当0≤a≤1时，在x∈[1，4]上，f'（x）≤0，∴fmin（x）=f（4）=2a-2ln2（10分）
③当1＜a＜2时，在x∈[1，
4
a2
]上f'（x）≤0，在x∈[
4
a2
，4]上f'（x）≥0
此时fmin(x)=f(
4
a2
)=2-2ln2+2lna
综上所述：fmin(x)=
2a-2ln20≤a≤1
2-2ln2+2lna1＜a≤2
a2＜a
（13分）
练习册系列答案
相关题目
已知f(x)=ax-
1x
，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．
已知函数f(x)=ax+
2
x
+6，其中a为实常数．
（1）若f（x）＞3x在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（2）已知a=
3
4
，P1，P2是函数f（x）图象上两点，若在点P1，P2处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；
（3）设定义在区间D上的函数y=s（x）在点P（x0，y0）处的切线方程为l：y=t（x），当x≠x0时，若
s(x)-t(x)
x-x0
＞0在D上恒成立，则称点P为函数y=s（x）的“好点”．试问函数g（x）=x2f（x）是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．

（09年西城区抽样理）（14分）

 已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，l(x)= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（Ⅰ）设，若h (x)为偶函数，求；

（Ⅱ）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

（Ⅲ）试判断h(x)能否为任意的一个二次函数，并证明你的结论.

（本小题满分16分）

已知f (x)、g(x)都是定义在R上的函数，如果存在实数m、n使得h (x) = m f(x)+ng(x)，那么称h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个函数.

设f (x)=x2+ax，g(x)=x+b(R)，= 2x2+3x-1，h (x)为f (x)、g(x)在R上生成的一个二次函数.

（1）设，若h (x)为偶函数，求；

（2）设，若h (x)同时也是g(x)、l(x) 在R上生成的一个函数，求a+b的最小值；

 
已知f(x)=ax-
1
x
，g（x）=lnx，（x＞0，a∈R是常数）．
（1）求曲线y=g（x）在点P（1，g（1））处的切线l．
（2）是否存在常数a，使l也是曲线y=f（x）的一条切线．若存在，求a的值；若不存在，简要说明理由．
（3）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的单调性．

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