Question

已知函数f（x）=2+sin2x+cos2x，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值及取得最大值的自变量x的集合；
（2）求函数f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值把f（x）的后两项化为一个角的正弦函数，根据正弦函数取得最大值时角度的值列出关于x的方程，求出方程的解即可得到f（x）取得最大值时x范围，并求出此时的最大值；
（2）根据正弦函数的递增区间，列出（1）得到f（x）的解析式中正弦函数的角度的不等式，化简后即可求出x的范围，即为函数f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）f（x）=2+sin2x+cos2x=2+

2

sin(2x+

π

4

)，（4分）
∴当2x+

π

4

=2kπ+

π

2

，即x=kπ+

π

8

(k∈Z)时，f（x）取得最大值2+

2

．
因此，f（x）取得最大值的自变量x的集合是{x|x=kπ+

π

8

，k∈Z}；（8分）
（2）f(x)=2+

2

sin(2x+

π

4

)，
由题意得2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
即kπ-

3

8

π≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)．
因此，f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

](k∈Z)．　…（12分）

点评：此题考查了三角函数的最值，以及正弦函数的单调性．利用三角函数的恒等变换把f（x）化为一个角的正弦函数是解本题的关键．