Question

已知函数f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)．
（Ⅰ）求f ^-1（x）；
（Ⅱ）若a₁=1，

1

an+1

=-f-1(an)（n∈N₊），求a_n；
（Ⅲ）设b_n=a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²，是否存在最小的正整数k，使对于任意n∈N₊有b_n＜

k

25

成立． 若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，然后根据反函数的求解步骤进行解题即可；
（2）根据条件推出{

1

an2

}是以

1

a12

=1为首项，以4为公差的等差数列，从而求出通项公式a_n；
（3）分别表示出b_n+1，b_n，然后将两者作差，判定符号，从而确定数列{b_n}的单调性，根据单调性可知bn≤b1=

14

45

(n∈N*)，要使bn＜

k

25

则

14

45

＜

k

25

，所以k＞

70

9

又k∈N^*即k≥8，从而求出k的最小值．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

x2-4

(x＜-2)∴f（x）＞0∴f-1(x)=-

4x2+1

x

(x＞0)
（2）∴

1

an+1

=

4an2+1

an

(an＞0)∴

1

an+12

=

1

an2

+4
∴{

1

an2

}是以

1

a12

=1为首项，以4为公差的等差数列、
∴

1

an2

=4n-3∴an=

1

4n-3

(n∈N*)、
（3）∴bn=an+12+an+22+…+a2n+12=

1

4n+1

+

1

4n+5

+…+

1

8n+1

bn+1=

1

4n+5

+

1

4n+9

+…+

1

8n+9

∴bn+1-bn=

1

8n+5

+

1

8n+9

-

1

4n+1

＜

1

8n+2

+

1

8n+2

-

1

4n+1

=0
∴b_n+1＜b_n∴{b_n}是一单调递减数列．∴bn≤b1=

14

45

(n∈N*)
要使bn＜

k

25

则

14

45

＜

k

25

∴k＞

70

9

又k∈N^*∴k≥8∴k_min=8
即存在最小的正整数k=8，使得bn＜

k

25

．

点评：本题主要考查了反函数，数列的通项以及恒成立问题，是一道数列与函数的综合题，属于中档题．