Question

11．已知（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且S_n=a₁+2a₂+…+na_nn∈N^*，那么当n∈N^*时，$\sum_{i=1}^n{S_i}$=（n-1）×2ⁿ +1．

Answer 1

分析 对于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，令x=1并且两边同时取导数可得n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，可得$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，再用错位相减法求得$\sum_{i=1}^n{S_i}$的值．

解答 解：对于等式（1+x）ⁿ=1+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，
令x=1并且两边同时取导数可得，n2^n-1=a₁+2a₂+3a₃+…+na_n，
∴$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1，
∴2$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
错位相减法可得-$\sum_{i=1}^n{S_i}$=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n2ⁿ =$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
化简求得$\sum_{i=1}^n{S_i}$=（n-1）×2ⁿ +1，
故答案为：（n-1）×2ⁿ +1．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，用错位相减法进行数列求和，属于中档题．