Question

设定义在R上的函数f（x）=sinⁿωx+cosⁿωx（ω＞0，n∈N^*）的最小正周期为T．
（1）若n=1，f（1）=1，求T的最大值；
（2）若n=4，T=4，求f（1）的值．

Answer 1

分析：（1）通过n=1，f（1）=1，化简函数的表达式，利用辅助角公式化简为一个角的一个三角函数的形式，求出ω的最小值，利用函数的周期，求T的最大值；
（2）通过n=4，利用平方关系式二倍角公式化简函数的表达式，T=4，求出ω，然后求f（1）的值．

解答：解（1）当n=1，f（1）=1时，sinω+cosω=1（ω＞0），
化简得sin(ω+

π

4

)=

2

2

，…2分
因为ω＞0，所以(ω+

π

4

)min=

3π

4

，即ωmin=

π

2

，
所以，T的最大值为8．…6分
（2）当n=4时，f（x）=sin⁴ωx+cos⁴ωx
=（sin²ωx+cos²ωx）²-2sin²ωxcos²ωx
=1-2（sinωxcosωx）²
=1-

1

2

sin22ωx
=1-

1

2

(

1-cos4ωx

2

)
=

1

4

cos4ωx+

3

4

（ω＞0），…10分
因为T=

2π

4ω

=4，所以ω=

π

8

，…12分
此时，f(x)═

1

4

cos

πx

2

+

3

4

，所以f(1)=

3

4

．…14分

点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数周期、二倍角等公式的应用，考查计算能力．