Question

已知函数f（x）=ln．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）猜测f（x）的周期并证明；
（3）写出f（x）的单调递减区间．

Answer 1

解：（1）由=＞0，可得 tanx＜-1 或tanx＞1，cosx=0．
∴x＞kπ+，或x＜kπ-，或 x=2kπ±，k∈z，
故函数的定义域为（kπ+，kπ+）∪（ kπ-，kπ- ），或x=2kπ±，k∈z，故定义域关于原点对称．
∵f（ x）=ln，∴f（-x）=ln =ln =-ln =-f（ x），
故函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明如下：
∵f（π+x）=ln =ln =f（ x），故函数f（ x）的周期等于π．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t==1+的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，
故f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（ kπ-，kπ- ）．
分析：（1）求出函数f（ x） 的定义域关于原点对称，再由f（-x）=-f（ x），可得函数f（ x）为奇函数．
（2）由于tanx的周期等于π，故f（x）的周期等于π，证明根据f（π+x）=f（ x）．
（3）f（x）的单调递减区间即函数t==1+的减区间，即tanx＜-1 或tanx＞1 时的增区间，由此求得f（x）的单调递减区间．
点评：本题考查三角函数的周期性、奇偶性和单调性，化简函数f（ x） 的解析式为 ln，是解题的关键．