Question

班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本（只要求写出算式即可，不必计算出结果）；
（2）随机抽取8位同学，
数学分数依次为：60，65，70，75，80，85，90，95；
物理成绩依次为：72，77，80，84，88，90，93，95，
①若规定90分（含90分）以上为优秀，记ξ为这8位同学中数学和物理分数均为优秀的人数，求ξ的分布列和数学期望；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应下表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

根据上表数据可知，变量y与x之间具有较强的线性相关关系，求出y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．（参考公式：

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；参考数据：

.

x

=77.5，

.

y

=84.875，

8

i=1

(xi-

.

x

)2≈1050，

8

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)≈688，

1050

≈32.4，

457

≈21.4，

550

≈23.5）

Answer 1

分析：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，做出女生和男生在总人数中所占的比例，用比例乘以要抽取的样本容量，得到结果．
（2）①这是这是一个古典概率，由表中可以看出，所选的8名同学中，数学和物理分数均为优秀的有2人，根据等可能事件的概率公式得到结果．
②首先求出两个变量的平均数，再利用最小二乘法做出线性回归方程的系数，把做出的系数和x，y的平均数代入公式，求出a的值，写出线性回归方程，得到结果．

解答：解：（1）从全班25位女同学，15位男同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析
故抽取男生数

25

40

×8=5人，

15

40

×8=3，
则共有

C

5 25

C

3 15

个不同样本；
（2）ξ的所有可能取值为0，1，2
P(ξ=0)=

A 2 5 A 6 6

A 8 8

=

20

56

，P(ξ=1)=

C 1 2 C 1 3 C 1 5 A 6 6

A 8 8

=

30

56

，P(ξ=2)=

A 2 3 A 6 6

A 8 8

=

6

56

故ξ的分布列为

ξ	0	1	2
p	20 56	30 56	6 56

Eξ=0×

20

56

+1×

30

56

+2×

6

56

=

3

4

；
（3）b≈0.655，a≈34.11（a≈34.09或a≈34.10也算正确）
则线性回归方程为：y=0.655x+34.11

点评：本题考查线性回归分析的初步应用，考查分层抽样，考查条件概率，考查相互独立事件同时发生的概率，考查利用数学知识解决实际问题的能力，是一个比较好的综合题目．