Question

已知双曲线C:(a＞0,b＞0)的离心率为,右准线方程为.

(Ⅰ)求双曲线C的方程;

(Ⅱ)设直线l是圆O:x²+y²=2上动点P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)处的切线,l与双曲线C交于不同的两点A,B,证明∠AOB的大小为定值.

Answer 1

分析：由以及易求第(Ⅰ)问结论,

第(Ⅱ)问圆x²+y²=2上点P(x₀,y₀)处切线方程为x₀x+y₀y=2,代入椭圆中,利用根与系数的关系求解=0即证.

解法一:(Ⅰ)由题意得

解得a=1,.

所以b²=c²-a²=2.

所以双曲线C的方程为.

(Ⅱ)点P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)在圆x²+y²=2上,

圆在点P(x₀,y₀)处的切线l的方程为,

化简得x₀x+y₀y=2.

由及x₀²+y₀²=2,得(3x₀²-4)x²-4x₀x+8-2x₀²=0.

因为切线l与双曲线C交于不同的两点A,B且0＜x₀²＜2,

所以3x₀²-4≠0,且Δ=16x₀²-4(3x₀²-4)(8-2x₀²)＞0.

设A,B两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

则,.

因为,

且=x₁x₂+y₁y₂=

=

=

=,

所以∠AOB的大小为90°.

解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)点P(x₀,y₀)(x₀y₀≠0)在圆x²+y²=2上,

圆在点P(x₀,y₀)处的切线l的方程为

,

化简得x₀x+y₀y=2.

由及x₀²+y₀²=2,得

(3x₀²-4)x²-4x₀x+8-2x₀²=0,①

(3x₀²-4)y²+8y₀y-8+2x₀²=0.②

因为切线l与双曲线C交于不同的两点A，B,所以3x₀²-4≠0.

设A，B两点的坐标分别为(x₁,y₁),(x₂,y₂),

则,.所以=x₁x₂+y₁y₂=0.

所以∠AOB的大小为90°.

(因为x₀²+y₀²=2且x₀y₀≠0,所以0＜x₀²＜2,0＜y₀²＜2,从而当3x₀²-4≠0时,方程①与方程②的判别式均大于0)