Question

已知函数f（x）=|2x+1|，g（x）=|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根把绝对不等式“大于看两边，小于看中间”的解答口决，可将原不等式化为2x+1＜-2，或2x+1＞2，进而得到原不等式的解集；
（2）利用零点分段函数，得到函数的解析式，进而根据函数的单调性，可得到f（x）-g（x）的最小值，最后得到实数m的取值范围．

解答：解：（1）不等式f（x）＞2，
即|2x+1|＞2可化为：
2x+1＜-2，或2x+1＞2
解得x＜-

3

2

，或x＞

1

2

∴原不等式的解集为（-∞，-

3

2

）∪（

1

2

，+∞）
（2）∵f（x）-g（x）=|2x+1|-|x-4|=

-x-5，x＜- 1 2 3x-3，- 1 2 ≤x≤4 x+5，x＞4

∵当x∈（-∞，-

1

2

）时，函数为减函数，当x∈（-

1

2

，+∞）时，函数为增函数，
∴当x=-

1

2

时，函数f（x）-g（x）取最小值-

9

2

若不等式f（x）-g（x）≥m+1的解集为R，
则-

9

2

≥m+1
即m≤-

11

2

故实数m的取值范围为（-∞，-

11

2

]

点评：本题考查的知识点是绝对值不等式的解法，函数恒成立问题，分段函数的最值，其中熟练掌握绝对不等式“大于看两边，小于看中间”的解答口决，及分段函数法，是解答绝对值问题的关键．