Question

已知函数f（x）=e^2x-ax．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由已知中的函数解析式，求出函数的导函数的解析式，根据导函数符号与原函数单调性的关系，可求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在实数x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，则a＞

e2x

x+1

，构造函数g（x）=

e2x

x+1

，则a＞g（x）_min，利用导出法求出函数的最小值，可得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）=e^2x-ax，
∴f′（x）=2e^2x-a，
（ⅰ）当a≤0时，f′（x）＞0恒成立
∴f（x）的单调递增区间是（-∞，+∞）．
（ⅱ） 当a＞0时，令f′（x）=0，得x=

1

2

ln

a

2

当x＜

1

2

ln

a

2

时，f′（x）＜0，当x＞

1

2

ln

a

2

时，f′（x）＞0
∴f（x）的单调递减区间是（-∞，

1

2

ln

a

2

），f（x）的单调递增区间是（

1

2

ln

a

2

，+∞）．…（6分）
（Ⅱ）由f（x）＜a得e^2x-ax＜a，即a（x+1）＞e^2x
由x∈（-1，1]得 x+1＞0．
∴a＞

e2x

x+1

设g（x）=

e2x

x+1

，
若存在实数x∈（-1，1]，使得f（x）＜a成立，则a＞g（x）_min，
∵g′（x）=

e2x(2x+1)

(x+1)2

令g′（x）=0  得x=-

1

2

，
∴当x∈（-1，-

1

2

）时，g′（x）＜0
当x∈（-

1

2

，1]时，g′（x）＞0
∴在g（x）在x=-

1

2

时取得最小值

2

e

∴a的取值范围是（

2

e

，+∞）．…（12分）′

点评：本题考查的知识点是利用导数法求函数的单调性，利用导数求函数的最值，函数的恒成立，是函数图象和性质及导数的综合应用，难度中档．