Question

如图，在矩形ABCD中，AB=

3

，BC=1，以A为圆心1为半径的圆与AB交于E（圆弧DE为圆在矩形内的部分）
（1）在圆弧DE上确定P点的位置，使过P的切线l平分矩形ABCD的面积；
（2）若动圆M与满足题（1）的切线l及边DC都相切，试确定M的位置，使圆M为矩形内部面积最大的圆．

Answer 1

分析：（1）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．设P（x₀，y₀）则B，C坐标可知，进而求得圆弧DE的方程和切线l的方程，设l与AB、CD交于F、G，则F，G的坐标可表示出，进而根据l平分矩形ABCD面积，可知求得x₀和y₀的关系式，同时与圆弧的方程联立求得x₀和y₀的，则点P的坐标可得．
（2）根据（1）中切线的方程，当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切，设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T，则MR=MT=MQ=r（r为圆M的半径）．进而根据点到直线的距离求得求得r的值，进而求得点M的坐标．

解答：解：（1）以A点为坐标原点，
AB所在直线为x轴，建立直角坐标系．
设P（x₀，y₀），B(

3

，0)，D（0，1），
圆弧DE的方程x²+y²=1（x≥0，y≥0）
切线l的方程：x₀x+y₀y=1
设l与AB、CD交于F、G可求F（

1

x0

，0），G（

1-y0

x0

，1），
∵l平分矩形ABCD面积，
∴FB=GN?

3

-

1

x0

=

1-y0

x0

?

3

x0+y0-2=0①
又x₀²+y₀²=1②解①、②得：
x0=

3

2

，y0=

1

2

，∴P(

3

2

，

1

2

)；
（2）由题（Ⅰ）可知：切线l的方程：

3

x+y-2=0，
当满足题意的圆M面积最大时必与边BC相切，
设圆M与直线l、BC、DC分别切于R、Q、T，
则MR=MT=MQ=r（r为圆M的半径）．∴M(

3

-r，1-r)，
由

| 3 ( 3 -r)+1-r-2|

3 2+12

=r?r=

3

+1（舍），r=

3- 3

3

．
∴M点坐标为(

4 3 -3

3

，

3

3

)．

点评：本题主要考查了直线与圆的综合运用．考查了考生综合运用所学知识的能力．