Question

【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率为,坐标原点O到直线x+y-b=0的距离为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)设过椭圆C的右焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A,B两点,对于椭圆C上一点M,若(λ>0,μ>0),求λμ的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根据的离心率为,坐标原点到直线的距离为，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 ，即可得结果；（2）设,求得，代入椭圆方程结合在椭圆上可得，利用基本不等式可得结果.

(1)由题意知e==,∴c2=a2,∴b2=a2-c2=a2.∵坐标原点O到直线x+y-b=0的距离为,∴=,∴b=5,b2=25,∴a2=4b2=100,

∴椭圆C的标准方程为+=1.

(2)由(1)知F(5,0),由题意可知直线l的方程为y=x-5,椭圆C的方程可化为x/span>2+4y2=100,联立直线l与椭圆C的方程,消去y得5x2-40x+200=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1x2=40.设M(x,y),由=λ+μ得(x,y)=λ(x1,y1)+μ(x2,y2)=(λx1+μx2,λy1+μy2),

∴又点M在椭圆C上,∴x2+4y2=100,即(λx1+μx2)2+4(λy1+μy2)2

=λ2+μ2+2λμx1x2+4(λ2+μ2+2λμy1y2)

=λ2(+4)+μ2(+4)+2λμ(x1x2+4y1y2)

=100.

∵A,B在椭圆C上,故有+4=100,+4=100.而x1x2+4y1y2=x1x2+4(x1-5)(x2-5)=5x1x2-20(x1+x2)+300=5×40-20×8+300=20,可得100λ2+100μ2+40λμ=100,即λ2+μ2+=1.

∵1=λ2+μ2+≥2λμ+=λμ,∴λμ≤,当且仅当λ=μ=时取得等号,故λμ的最大值为.