Question

（本题满分16分）已知函数在点处的切线方程为．

⑴求函数的解析式；

⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；

⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．

 

Answer 1

【答案】

⑴． ⑵的最小值为4．⑶．

【解析】(1)求导，根据建立关于a,b的方程，求解即可。

(2) 本题实质是对于区间上任意两个自变量的值，都有

,然后利用导数求f(x)的最值即可。

(3) 因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．因为，所以切线的斜率为．则=，

即．从而转化为方程有三个不同的实数解，

构造函数,证明它有三个不同的零点即可。

解：⑴．…………………………………………………………1分

根据题意，得即解得……………………3分

所以．………………………………………………………………4分

⑵令，即．得．

					1		2
		+				+
		↗	极大值	↘	极小值	↗	2

因为，，

所以当时，，．………………………………6分

则对于区间上任意两个自变量的值，都有

，所以．

所以的最小值为4．……………………………………………………………………8分

⑶因为点不在曲线上，所以可设切点为．

则．

因为，所以切线的斜率为．………………………………9分

则=，………………………………………………………………11分

即．

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有三个不同的实数解．

所以函数有三个不同的零点．

则．令，则或．

		0		2
	+				+
	↗	极大值	↘	极小值	↗

则 ，即，解得．…………………………………16分

（注：此题其它解法正确也给分）