Question

已知函数f（x）=a-

1

|x|

．
（1）求证：函数y=f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）＜2x在（1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用函数单调性定义证明，先在给定的区间任取两变量，界定其大小，然后作差变形看符号．
（2）将f（x）＜2x为a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，只要再求得h（x）最小值即可．

解答：证明：（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）=a-

1

x

，
设0＜x₁＜x₂，则x₁x₂＞0，x₂-x₁＞0．
f（x₁）-f（x₂）=（a-

1

x1

）-（a-

1

x2

）=

1

x2

 -

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0．
∴f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）在（0，+∞）上是增函数

（2）由题意a＜

1

x

+2x在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）=2x+

1

x

，则a＜h（x）在（1，+∞）上恒成立．
可证h（x）在（1，+∞）上单调递增．
故a≤h（1），即a≤3，
∴a的取值范围为（-∞，3]．

点评：本题主要考查函数单调性的证明以及用单调性求最值问题．