Question

已知函数f（x）=4-（x＞0），
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则
=．
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
则＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），
∴，
解得：．
∴，．
分析：（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义证明；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中证出的函数在（0，+∞）上是增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），列方程组求解m和n的值．
点评：本题考查了利用函数单调性的定义证明函数的单调性，在利用定义证明函数的单调性时，关键是作差判断符号，对于差式应化为最简形式，以免造成“证题用题”的现象，此题是基础题．