Question

已知函数f（x）=log_a

x+b

x-b

（a＞0，a≠1，b＞0）．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）讨论f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据对数的真数大于0，解关于x的不等式即可得到f（x）的定义域；
（2）根据函数奇偶性的定义结合对数的运算性质，可证出f（-x）=-f（x），得f（x）为奇函数；
（3）设b＜x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差化简整理，可得：当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0；当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，由此结合函数单调性的定义即可得到函数在（b，+∞）上的单调性．同理可得函数在区间（-∞，-b）上的单调性，从而得到本题答案．

解答：解：（1）因为

x+b

x-b

＞0，解之得x＜-b或x＞b，
∴函数的定义域为（-∞，-b）∪（b，+∞）．…（3分）
（2）由（1）得f（x）的定义域是关于原点对称的区间
f（-x）=log_a

-x+b

-x-b

=log_a

x-b

x+b

，
∵-f（x）=log_a（

x+b

x-b

）^-1=log_a

x-b

x+b

，
∴f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．…（6分）
（3）证明：设b＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=log_a

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

，
∵

(x1+b)(x2-b)

(x2+b)(x1-b)

-1=

2b(x2-x1)

(x2+b)(x1-b)

＞0
∴当a＞1时，f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x₁）＞f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为减函数；
当0＜a＜1时，f（x₁）-f（x₂）＜0，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）在（b，+∞）上为增函数．
同理可得：当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）上为增函数．
综上所述，当a＞1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（-∞，-b）和（b，+∞）上为增函数．…（12分）

点评：本题给出含有分式的对数形式的函数，求函数的定义域并求函数的单调性、奇偶性．着重考查了函数奇偶性的判断、函数的定义域及其求法和函数单调性的判断与证明等知识，属于基础题．