题目内容
【题目】如图，在正四棱柱
中， 
， 
，点
是
的中点，点
在
上．
（1）若异面直线
和
所成的角为
，求
的长；
（2）若
，求二面角
的余弦值．
【答案】(1) 
（2）
【解析】试题分析：（1）由空间坐标系得到可设
， 
和
所成的角为
，所以
，求得
，进而得到长度；（2）通过空间向量的方法求两个面的法向量，进而求得二面角。
解析：
以
为原点， 
为
轴正半轴， 
为
轴正半轴， 
为
轴正半轴，建立空间直角坐标系．
（1）则
， 
， 
， 
，设
，
所以
， 
因为
和
所成的角为
，所以
，
则
， 
，
所以
．
（2）当
时，则
，
设面
的法向量为
，面
的法向量
，
因为
， 
， 
，
则
， 
，∴
取
，则
， 
，则
，
又
， 
，∴
所以
， 
， 
，则
，
根据图形可知，二面角
平面角为锐角，等于这两个法向量的夹角，
所以其大小的余弦值为
．
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