Question

已知P是函数y=f（x）（x∈[m，n]）图象上的任意一点，M、N为该图象的两个端点，点Q满足=λ，•i=0（其中0＜λ＜1，i为x轴上的单位向量），若||≤T（T为常数）在区间[m，n]上恒成立，则称y=f（x）在区间[m，n]上具有“T级线性逼近”．现有函数：①y=2x+1；②y=；③y=x²．则在区间[1，2]上具有“级 线性逼近”的函数的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：由=λ，可得Q点在线段MN上，由•=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故||即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，分析三个函数中，x∈[1，2]时，||≤是否恒成立，可得答案．
解答：解：由=λ，可得Q点在线段MN上，由•=0，可得P，Q两点的横坐标相等，故||即为P，Q两点纵坐标差的绝对值，
当f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，则M（1，3），N（2，5），函数y=f（x）的图象即为线段MN，故||=0≤恒成立，满足条件；
当f（x）=时，则M（1，1），N（2，），线段MN的方程为y=-x+，此时||=-x+-，则||′=-+，令||′=0，则x=，故当x=时，||取最大值-，故||≤恒成立，满足条件；
当f（x）=x²．则M（1，1），N（2，4），线段MN的方程为y=3x-2，此时||=-x²+3x-2，当x=时，||取最大值，故||≤恒成立，满足条件；
故在区间[1，2]上具有“级线性逼近”的函数的个数为3个
故选D
点评：本题考查的知识点函数恒成立问题，函数的值域，正确理解“T级线性逼近”定义，是解答的关键．