Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f(1)=

5

2

、f(2)=

17

4

．
（1）求a、b的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明．

Answer 1

分析：（1）直接根据f(1)=

5

2

、f(2)=

17

4

建立方程组，然后根据指数方程的求解方法可求出a、b的值；
（2）由（1）得f（x）的解析式，然后求出函数的定义域，看其是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义进行判定即可．

解答：解：（1）∵f（x）=2^x+2^ax+b，且f(1)=

5

2

、f(2)=

17

4

，
∴

2+2a+b= 5 2 22+22a+b= 17 4

即

a+b=-1 2a+b=-2

，
解得：

a=-1 b=0

；
（2）由（1）得f（x）=2^x+2^-x，
∵f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（-x）=2^-x+2^x=f（x），
∴f（x）为偶函数．

点评：本题主要考查了指数方程的求解，以及函数奇偶性的判定，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．