Question

【题目】若 ， ， 为同一平面内互不共线的三个单位向量，并满足 + + = ，且向量 =x + +（x+ ） （x∈R，x≠0，n∈N+）．
（1）求 与 所成角的大小；
（2）记f（x）=| |，试求f（x）的单调区间及最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题设：| |=|| =| |=1，且 + =﹣ （ + ）2=（﹣ ）2，化简得：

=﹣ cos＜ ， ＞=﹣ ，又＜ ， ＞∈[0，π]＜ ， ＞= ．

（2）解：由（1）易知： = = =﹣ ，

故由f（x）=| |= ，

将其展开整理得：f（x）= （x∈R，x≠0，n∈N+）．①x＞0时，对u（x）=x2+（ ）2﹣n，求导并整理得：u′（x）= ．

则由u′（x）＞0x＞ ，

且由u′（x）＜00＜x＜ ．即f（x）的增区间为（ ，+∞），减区间为（0， ）．

②x＜0时，因f（x）为偶函数，由图象的对称性知：f（x）的增区间为（﹣ ，0），减区间为（﹣∞，﹣ ）．

综上：f（x）的增区间为 （﹣ ，0）与 （ ，+∞），f（x）的减区间为（﹣∞，﹣ ） 和 （0， ）．

再由均值不等式易求得：|x|= 时，f（x）min= ．

【解析】（1）首先利用函数的数量积求出向量的夹角．（2）首先把向量的模长转化为求向量的数量级，进一步利用导数求出单调区间，最后确定最值．
【考点精析】掌握函数单调性的判断方法和函数的最值及其几何意义是解答本题的根本，需要知道单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．