Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=10，a_n+1=9S_n+10．
（1）求证：{lga_n}是等差数列；
（2）设Tn是数列{

3

(lgan)(lgan+1)

}的前n项和，求使Tn＞

1

4

(m2-5m)对所有的n∈N^*都成立的最大正整数m的值．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得a₂的值，进而求得

a2

a1

的值，进而看当n≥2时，根据a_n=S_n-S_n-1求得

an+1

an

=10判断出数列为等比数列，进而根据等比数列的性质求得a_n，进而分别表示出lga_n和lga_n+1，根据lga_n+1-lga_n=1，判断出lga_n}n∈N^*是等差数列．
（2）根据（1）中求得a_n利用裂项法求得T_n，进而根据3-

3

n+1

≥

3

2

，进而根据Tn＞

1

4

(m2-5m)求得m的范围．判断出m的最大正整数．

解答：解：（1）依题意，a2=9a1+10=100，故

a2

a1

=10，
当n≥2时，a_n=9S_n-1+10①又a_n+1=9S_n+10②
②-①整理得：

an+1

an

=10，故{an}为等比数列，
且a_n=a₁q^n-1=10ⁿ，∴lga_n=n∴lga_n+1-lga_n=（n+1）-n=1，
即{lga_n}n∈N^*是等差数列．
（2）由（1）知，Tn=3(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

)
=3(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

)=3-

3

n+1

∴Tn≥

3

2

，
依题意有

3

2

＞

1

4

(m2-5m)，解得-1＜m＜6，
故所求最大正整数m的值为5．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生对数列基础知识的综合把握．