Question

（2014•广东模拟）设函数f(x)=

1

3

x3-

1

2

(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b，(a，b∈R）
（1）求f（a）的值；
（2）若对任意的a∈[0，1]，函数f（x）在x∈[0，1]上的最小值恒大于1，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1））由f(X)=

1

3

x3-

1

2

(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a，b∈R），知f（a）=

1

3

a³-

1

2

（2a-1）a²+[a²-a-f（a）]a+b，由此能求出f（a）．
=

2a3-3a2+6b

6a+6

．
（2）由f(X)=

1

3

x3-

1

2

(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a，b∈R），知f′（x）=x²-（2a-1）x+a²-a-f′（a），由此能求出f′（a）=0．故f′（x）=x²-（2a-1）x+（a²-a）=[x-（a-1）]（x-a），令f′（x）＞0，得x＜a-1，或x＞a；令f′（x）＜0，得a-1＜x＜a，故f（x）在（-∞，a-1]上单调递增，在[a-1，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，由此能求出b的取值范围．

解答：解：（1）∵f(X)=

1

3

x3-

1

2

(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a，b∈R）
∴f（a）=

1

3

a³-

1

2

（2a-1）a²+[a²-a-f（a）]a+b，
∴（a+1）f（a）=

1

3

a3-a³+

1

2

a2+a³-a²+b=

1

3

a3-

1

2

a2+b，
∴f（a）=

1 3 a3- 1 2 a2+b

a+1

=

2a3-3a2+6b

6a+6

．
（2）∵f(X)=

1

3

x3-

1

2

(2a-1)x2+[a2-a-f(a)]x+b(a，b∈R）
∴f′（x）=x²-（2a-1）x+a²-a-f′（a），
∴f′（a）=a²-（2a-1）a+a²-a-f′（a），
∴f′（a）=0．
∴f′（x）=x²-（2a-1）x+（a²-a）=[x-（a-1）]（x-a），
令f′（x）＞0，得x＜a-1，或x＞a；令f′（x）＜0，得a-1＜x＜a，
∴f（x）在（-∞，a-1]上单调递增，在[a-1，a]上单调递减，在[a，+∞）上单调递增，
∵0≤a≤1，∴f（x）在x∈[0，1]上的最小值为f（a）=

1

3

a3-

1

2

a2+b，
∴

1

3

a3-

1

2

a2+b＞1在a∈[0，1]上恒成立．
即b＞-

1

3

a3+

1

2

a2+1在a∈[0，1]上恒成立，
令g(x)=-

1

3

x2+

1

2

x2+1(0≤x≤1)，
则g′（x）=-x²+x=-x（x-1）≥0，
∴g（x）在x∈[0，1]上单调递增，
∴1≤g(x)≤

7

6

，
∴b＞

7

6

．

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．