Question

已知数列{a_n}的前n项和为Sn，且a₁=8，S_n=16-ka_n，n∈N^*．
（I）求k的值及a_n；
（II）设f（n）=

an     (n为奇数) log2f( n 2 )   (n为偶数)

，b_n=f（2ⁿ+1）（n∈N^*）
（i）求b_n；      
（ii）令c_n=（b_n-3）log₂a_n，求{c_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（I）由a₁=S₁=16-ka₁=8，可得k=1，从而S_n=16-a_n，当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1，可得数列{a_n}为等比数列，从而可得数列的通项；
（II）（i）f（n）=

24-n     (n为奇数) log2f( n 2 )   (n为偶数)

，利用b_n=f（2ⁿ+1）可求；
（ii）c_n=（b_n-3）log₂a_n=

0，n=1 (n-4)•2n-1，n≥2

，利用错位相减法，可求数列的和．

解答：解：（I）由a₁=S₁=16-ka₁=8，可得k=1（1分）
∴S_n=16-a_n，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（16-a_n）-（16-a_n-1）=a_n-1-a_n，
∴a_n=

1

2

a_n-1，
∴数列{a_n}为等比数列，首项为8，公比为

1

2

（2分）
∴a_n=2^4-n（n∈N^*）；（4分）
（II）（i）f（n）=

24-n     (n为奇数) log2f( n 2 )   (n为偶数)

∴b_n=f（2ⁿ+1）=23-2n（8分）
（ii）c_n=（b_n-3）log₂a_n=

0，n=1 (n-4)•2n-1，n≥2

（10分）
∴n≥2时，T_n=（-2）×2+（-1）×2²+…+（n-4）•2^n-1①
∴2T_n=（-2）×2²+（-1）×2³+…+（n-4）•2ⁿ②
①-②得：-T_n=-7+

2n-1

2-1

-（n-4）•2ⁿ=-8+2ⁿ-（n-4）•2ⁿ
∴T_n=8+（n-5）•2ⁿ（n≥2）
T₁=0也满足上式
∴T_n=8+（n-5）•2ⁿ．    （12分）

点评：本题主要考查等比数列的通项与求和以及a_n与S_n的关系，用分段函数形式表示f（n），考查分段函数的意义，而且考查了学生思维的严谨性，难度中档偏上．