Question

直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AC=CB=AA₁=2，∠ACB=90°，E是BB₁的中点，D为AB的中点。

   （I）求证：DE⊥平面A₁CD；

   （II）求二面角D―A₁C―A的大小（用反三角表示）。

Answer 1

（1）证明：∵AC=CB，D为AB的中点  ∴CD⊥AB

又∵平面ABA₁B₁⊥平面ABC  ∴CD⊥平面ABA₁B₁ 

 ∴CD⊥DE

又∵ 

∴A₁D² + DE² = A₁E²

∴∠A₁DE = 90°即DE⊥A₁D

又∵DE∩A₁D = D

∴DE⊥平面A₁CD                                                                   

   （2）解：作DH⊥AC于H，则H为AC中点

作HM⊥A₁C于M，连接MD，则∠HMD为二面角D―A₁C―A平面角

∴二面角D―A₁C―A平面角为：                            

   （或者利用向量法 ）