Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，∠ABC=∠BCD=90°，PA=PD=DC=CB=

1

2

AB，E是BD的中点．
（Ⅰ）求证：EC∥平面APD；
（Ⅱ）求BP与平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取PA中点F，连接EF、FD，可得EF∥AB且EF=

1

2

AB，证明四边形EFDC是平行四边形，再利用直线与平面平行的
判定定理进行证明；
（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD，可得HB是PB在平面ABCD内的射影，∠PBH是PB与平面ABCD所成角，从而求解．
（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，可得∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a，构造直角三角形，求出∠PGH的正切值，即可求解．

解答：解：证明（Ⅰ）如图，取PA中点F，连接EF、FD，
∵E是BP的中点，
∵EF∥AB且EF=

1

2

AB，
又∵DC∥AB，DC=

1

2

AB
∴EF

∥ .

.

DC
∴四边形EFDC是平行四边形，故得EC∥FD（2分）
又∵EC?平面PAD，FD?平面PAD
∴EC∥平面ADE（4分）

（Ⅱ）取AD中点H，连接PH，因为PA=PD，所以PH⊥AD
∵平面PAD⊥平面ABCD于AD
∴PH⊥面ABCD
∴HB是PB在平面ABCD内的射影
∴∠PBH是PB与平面ABCD所成角（6分）
∵四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是直角梯形DC=CB=

1

2

AB
设AB=2a，则BD=

2

a，
在△ABD中，易得∠DBA=45°，
∴AD=

2

aPH=

PD2-DH2

=

a2- 1 2 a2

=

2

2

a，
又∵BD²+AD²=4a²=AB²，
∴△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°
∴HB=

DH2+DB2

=

1 2 a2+2a2

=

10

2

a
∴在Rt△PHB中，tan∠PBH=

PH

HB

=

2 2 a

10 2 a

=

5

5

（10分）
（Ⅲ）在平面ABCD内过点H作AB的垂线交AB于G点，连接PG，
则HG是PG在平面ABCD上的射影，故PG⊥AB，
所以∠PGH是二面角P-AB-D的平面角，由AB=2a（11分）
HA=

2

2

a，又∠HAB=45°∴HG=

1

2

a
在Rt△PHG中，tan∠PGH=

PH

HG

=

2 2 a

1 2 a

=

2

（13分）
∴二面角P-AB-D的大小为arctan

2

（14分）


解法二：（Ⅰ）同解法一（4分）
（Ⅱ）设AB=2a，同解法一中的（Ⅱ）可得∠ADB=90°
如图，以D点为原点，DA所在直线为x轴，DB所在直线为y轴，
过D点且垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系．（5分）
则B(0，

2

a，0)，P(

2

2

a，0，

2

2

a)，则

PB

=(-

2

2

a，

2

a，-

2

2

a)，
平面ABCD的一个法向量为m=（0，0，1），（7分）
所以，cos＜

PB

，

m

＞=

PB • m

| PB |•| m |

=

- 2 2 a

3 a

=-

6

6

可得PB与平面ABCD所成角的正弦值为

6

6

所以PB与平面ABCD所成角的正切值为

5

5

（10分）
（Ⅲ）易知A(

2

a，0，0)，则

AB

=(-

2

a，

2

a，0)，
设平面PAB的一个法向量为

n

=(x0，y0，z0)，则

n • AB =0 n • PB =0

?

- 2 ax0+ 2 ay0=0 - 2 2 ax0+ 2 ay0- 2 2 az0=0

?

y0=x0 z0=x0

，
令x₀=1，可得

n

=(1，1，1)（12分）
得cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
所以二面角P-AB-D的大小为arccos

3

3

（14分）

点评：此题考查直线与平面平行的判断及直线与平面的夹角问题，此类问题一般先找出所求教，然后构造直角三角形，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，计算时要仔细．